13.5 Interferenz und Beugung

Quelle: Mitschrift §6.2.4 · §6.2.6

Interferenz = Überlagerung von Wellen. Treffen zwei Wellen am selben Ort zusammen, addieren sich ihre Auslenkungen punktweise (Superposition). Das Ergebnis hängt davon ab, wie die beiden „im Takt" zueinander stehen — gemessen durch die Phasendifferenz $\mathrm{\Delta }\phi$.

Interferenz	Bedingung (Phase)	gleichwertig (Gangunterschied)
konstruktiv (Berg + Berg)	$\mathrm{\Delta }\phi =2\pi n$	$\mathrm{\Delta }s=n\lambda$
destruktiv (Berg + Tal)	$\mathrm{\Delta }\phi =(2n+1)\pi$	$\mathrm{\Delta }s=(n+\frac{1}{2})\lambda$

✎ Warum gerade diese Bedingungen? (Phase ↔ Gangunterschied, Schritt für Schritt)

1. Eine ganze Periode entspricht $2\pi$. Verschiebt man eine Welle um genau eine Wellenlänge $\lambda$, ist sie wieder „deckungsgleich" — das entspricht einer Phasendrehung von $2\pi$.
2. Umrechnung Weg → Phase: Ein Gangunterschied $\mathrm{\Delta }s$ (Wegunterschied der beiden Wellen) bedeutet daher die Phasendifferenz $\mathrm{\Delta }\phi ={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}\mathrm{\Delta }s$. ($\mathrm{\Delta }s\dots$ Wegunterschied; $\mathrm{\Delta }\phi \dots$ Phasendifferenz.)
3. Konstruktiv (Berg trifft Berg): Die Wellen müssen „in Phase" sein → $\mathrm{\Delta }\phi =2\pi n$ ($n=0,1,2,\dots$). Setzt man das in Schritt 2 ein: ${\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}\mathrm{\Delta }s=2\pi n\Rightarrow \boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }s=n\lambda }}$ — der Wegunterschied ist ein ganzes Vielfaches von $\lambda$. Die Amplituden addieren sich → maximale Helligkeit.
4. Destruktiv (Berg trifft Tal): Die Wellen müssen „gegenphasig" sein → $\mathrm{\Delta }\phi =(2n+1)\pi$ (ungerade Vielfache von $\pi$, also halbe Periode versetzt). Einsetzen: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }s=(n+\frac{1}{2})\lambda }}$ — Wegunterschied um eine halbe Wellenlänge daneben. Berg und Tal löschen sich → Dunkelheit.

✎ Alltagsanwendung der destruktiven Interferenz — aktive Geräuschreduktion (Mappe-Testfrage). Noise-Cancelling-Kopfhörer nehmen den Lärm auf und senden eine gegenphasige Schallwelle aus (um $\pi$ = eine halbe Wellenlänge versetzt) → destruktive Interferenz. Am besten klappt das bei tiefen Frequenzen: meterlange Wellen, die Phase lässt sich genau treffen; bei hohen Frequenzen ist $\lambda$ nur zentimeterkurz — die kleinste Verschiebung zerstört die „Gegenphase".

Beugung = Abweichung der Wellenausbreitung von der Geradlinigkeit an einem Spalt oder Hindernis. ✎ Warum tritt sie auf? Nach dem Huygens-Prinzip ist jeder Punkt einer Wellenfront Ausgangspunkt einer neuen kreisförmigen Elementarwelle. An einer engen Öffnung (Größe $\approx \lambda$) bleiben nur wenige solche Zentren übrig — deren Elementarwellen breiten sich kreisförmig aus, also auch „um die Ecke" in den geometrischen Schattenraum. Erst dieses Herumlaufen plus die anschließende Interferenz ergibt das Streifenmuster. Ein Spezialfall ist die Interferenz an dünnen Schichten (siehe Thema 6 und §13.5a unten) — das Schillern von Seifenblasen usw.

✎ Laserpointer durch einen sehr engen Spalt — der Fleck wird breiter, nicht schmaler. Leuchtet man mit einem Laserpointer durch einen extrem engen Spalt, so ist der Lichtfleck dahinter nicht enger, sondern breiter als der Spalt (ein helles zentrales Band mit schwächeren Streifen daneben). Grund: Wird die Spaltbreite vergleichbar mit der Wellenlänge $\lambda$ ($d\approx \lambda$), wird die Beugung deutlich (Übergang in die Wellenoptik, §13.7). Je enger der Spalt, desto breiter läuft das Licht auseinander. ✎ Das ist dieselbe Wurzel wie die Heisenberg'sche Unschärfe: Je schärfer man den Ort einschränkt (kleines $\mathrm{\Delta }x$ = enger Spalt), desto stärker streut die Richtung/der Impuls (großes $\mathrm{\Delta }p$ = breiter Fleck) — siehe Thema 9.

Abbildung: Tafelbild „Beugung" — ebene Wellenfronten treffen auf einen Spalt und breiten sich dahinter als gekrümmte Wellenfronten aus.

Wellenlängenmessung mit dem Gitter

Quelle: Mappe (Friedl) S. 29

Mit einem optischen Gitter (Gitterkonstante $d$ = Abstand zweier benachbarter Spalte, hier $d={10}^{-5}$ m) lässt sich die Wellenlänge des Lichts direkt messen. Man schiebt einen Farbfilter vor die Lichtquelle und misst am Schirm den Abstand $s$ zwischen dem 0. und dem 1. Beugungsmaximum; $D$ ist der Abstand Gitter–Schirm.

✎ Herleitung von $\lambda =ds/D$ — Schritt für Schritt.

1. Idee: Jeder Spalt sendet (Beugung) eine Welle aus. In eine schräge Richtung $\phi$ haben die Wellen zweier benachbarter Spalte einen Gangunterschied $\mathrm{\Delta }s$. Ein helles Maximum entsteht dort, wo sie konstruktiv interferieren — also $\mathrm{\Delta }s=n\lambda$ (aus §13.5 oben).
2. Geometrie des Gangunterschieds: Zeichnet man von den beiden Spalten die Strahlen in Richtung $\phi$, ist der Wegunterschied die Gegenkathete im kleinen rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse $d$: $\mathrm{\Delta }s=d\cdot \sin \phi$.
3. Maximum-Bedingung einsetzen: $d\cdot \sin \phi =n\lambda$. Für das 1. Maximum ist $n=1$: $d\cdot \sin \phi =\lambda$.
4. Kleinwinkel-Näherung: Der Schirm ist weit weg ($D$ groß), der Winkel $\phi$ also klein. Für kleine Winkel gilt $\sin \phi \approx \tan \phi$. Und $\tan \phi$ liest man direkt am Schirm ab: $\tan \phi ={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}={\displaystyle \frac{s}{D}}$ (Abstand Maximum–Mitte geteilt durch Abstand Gitter–Schirm).
5. Zusammensetzen: $\sin \phi \approx \tan \phi ={\displaystyle \frac{s}{D}}$ in $\lambda =d\sin \phi$ einsetzen →

$$\sin \phi \approx \tan \phi =\frac{s}{D}\Rightarrow \boxed{{\displaystyle \lambda =d\cdot \frac{s}{D}}}$$

✎ Alle drei rechten Größen sind messbar ($d$ steht auf dem Gitter, $s$ und $D$ misst man mit dem Lineal) → so wird die winzige Wellenlänge indirekt zugänglich.

Damit ergeben sich (für $D=3$ m) folgende Messwerte:

Farbe	$s$ in m	$\sin \phi =s/D$	$\lambda =d\frac{s}{D}$	$f=c/\lambda$
Rot	0,195	0,065	$650\cdot {10}^{-9}$ m	$4,6\cdot {10}^{14}$ Hz
Gelb	0,175	0,058	$580\cdot {10}^{-9}$ m	$5,2\cdot {10}^{14}$ Hz
Grün	0,160	0,053	$530\cdot {10}^{-9}$ m	$5,7\cdot {10}^{14}$ Hz
Blau	0,145	0,048	$480\cdot {10}^{-9}$ m	$6,2\cdot {10}^{14}$ Hz

✎ Eine Zeile nachgerechnet (Rot): gemessen $s=\mathrm{0,195}$ m, $D=3$ m. (1) $\sin \phi \approx s/D=\mathrm{0,195}/3=\mathrm{0,065}$. (2) $\lambda =d\cdot s/D={10}^{-5}\text{m}\cdot \mathrm{0,065}=6,5\cdot {10}^{-7}\text{m}=650$ nm. (3) Frequenz $f=c/\lambda =3\cdot {10}^8/(6,5\cdot {10}^{-7})\approx 4,6\cdot {10}^{14}$ Hz. Die übrigen Farben gehen genauso.

Zur roten Spektralfarbe gehört die größte, zur violetten die kleinste Wellenlänge. ✎ Warum macht das Sinn? Rotes Licht hat (von den sichtbaren Farben) die niedrigste Frequenz; wegen $c=\lambda f$ gehört zu kleiner $f$ die größte $\lambda$. Blau/Violett ist umgekehrt. ✎ Beim Übergang ins Medium bleibt die Frequenz unverändert, die Wellenlänge wird kleiner — daher charakterisiert die Frequenz (nicht $\lambda$) eindeutig die Spektralfarbe. Die so gemessenen Wellenlängen sind überraschend klein — etwa das Tausendfache eines Atomdurchmessers ($\approx {10}^{-10}$ m). Das Gitterspektrum ist im Gegensatz zum Prismenspektrum symmetrisch (gleiche Aufspaltung links und rechts vom 0. Maximum). ✎ Grund: Die Beugung liefert Maxima zu beiden Seiten ($\pm 1.$ Ordnung usw., weil $\mathrm{\Delta }s=n\lambda$ für beide Schräglagen $\pm \phi$ erfüllt ist), während das Prisma das Licht (über die Brechung) nur in eine Richtung auffächert.

13.5a Newton'sche Ringe und Interferenz an dünnen Schichten

Quelle: ➕ Themenpool · vgl. Thema 6

Warum schillern Seifenblasen und Ölfilme? Nicht durch Pigmente, sondern durch Interferenz an einer dünnen Schicht. Das Licht wird an zwei Grenzflächen reflektiert (oben und unten), und diese beiden Teilstrahlen überlagern sich.

✎ Das Grundprinzip Schritt für Schritt.

1. Licht trifft auf eine dünne Schicht der Dicke $d$. Ein Teil reflektiert an der oberen Fläche, ein Teil tritt ein, läuft durch die Schicht und reflektiert an der unteren Fläche.
2. Der zweite Strahl legt den Weg durch die Schicht hin und zurück zusätzlich zurück → geometrischer Gangunterschied $\approx 2d$ (bei senkrechtem Einfall).
3. Ob die beiden Strahlen konstruktiv (hell) oder destruktiv (dunkel) interferieren, hängt von $2d$ im Vergleich zu $\lambda$ ab — und zusätzlich von einem Phasensprung bei der Reflexion (gleich).
4. Weil die Bedingung von $\lambda$ abhängt, ist sie für jede Farbe bei anderer Dicke erfüllt → bei „weißem" Licht sieht man je nach Schichtdicke verschiedene Farben aufleuchten = das Schillern.

✎ Der Phasensprung — fester vs. freies Ende (entscheidend für „hell oder dunkel"). Bei der Reflexion einer Welle gibt es zwei Fälle (man kennt sie vom Seil):

• Reflexion am optisch dichteren Medium (z. B. von Luft auf Glas) = „festes Ende" → die Welle springt um $\pi$ (eine halbe Wellenlänge), wie ein Seil, das an der Wand fest ist und invertiert zurückkommt.
• Reflexion am optisch dünneren Medium = „freies Ende" → kein Phasensprung.

Springt nur einer der beiden Strahlen (so ist es bei einem einfachen Film/bei Newton-Ringen), kommt ein zusätzliches $\lambda /2$ zum geometrischen Gangunterschied hinzu — das vertauscht die Rollen von „hell" und „dunkel".

Newton'sche Ringe sind der saubere Laborfall: Eine plankonvexe Linse (unten leicht gekrümmt) liegt auf einer planen Glasplatte. Dazwischen ist ein Luftkeil, dessen Dicke $d$ vom Berührpunkt nach außen wächst. Von oben beleuchtet sieht man konzentrische helle/dunkle Ringe.

✎ Herleitung: dunkle Ringe und ihr Radius — Schritt für Schritt.

1. Phasensprung-Bilanz: Der untere Teilstrahl reflektiert am Übergang Luft → Glasplatte (dichter) → Sprung um $\lambda /2$. Der obere reflektiert am Übergang Glaslinse → Luft (dünner) → kein Sprung. Es bleibt also ein zusätzliches $\lambda /2$.
2. Bedingung für Dunkelheit (destruktiv): geometrischer Gangunterschied $2d$ plus das $\lambda /2$ aus dem Sprung soll eine halbe Wellenlänge „daneben" sein. Rechnet man das aus, fällt das $\lambda /2$ gerade so, dass die dunklen Ringe bei

$$2d=k\lambda (k=0,1,2,\dots )$$

liegen ($k\dots$ Ordnung des Rings). Insbesondere ist die Mitte dunkel ($d=0\Rightarrow k=0$) — ein berühmtes Kennzeichen der Newton-Ringe, das nur mit dem Phasensprung erklärbar ist. 3. Geometrie: Dicke ↔ Radius. Für eine Linse mit großem Krümmungsradius $R$ und einen Ringradius $r$ (gemessen vom Berührpunkt) gilt nach dem Höhensatz/Kreisgeometrie näherungsweise (für $d\ll R$):

$$r^2=2Rd\Rightarrow d=\frac{r^2}{2R}$$

($R\dots$ Krümmungsradius der Linse; $r\dots$ Radius des Rings; $d\dots$ Luftspaltdicke dort). Kurzbegründung: Die Kreisgleichung $r^2+(R-d{)}^2=R^2$ ausmultipliziert ergibt $r^2=2Rd-d^2$; weil $d$ winzig ist, fällt $d^2$ weg → $r^2\approx 2Rd$. 4. Einsetzen → Wellenlänge messen. $d={\displaystyle \frac{r^2}{2R}}$ in die Dunkelbedingung $2d=k\lambda$ einsetzen:

$$2\cdot \frac{r^2}{2R}=k\lambda \Rightarrow \frac{r^2}{R}=k\lambda \Rightarrow \boxed{{\displaystyle \lambda =\frac{r^2}{kR}}}$$

5. Anwendung: Misst man den Radius $r$ des $k$-ten dunklen Rings und kennt $R$, erhält man die Wellenlänge $\lambda$ — eine weitere, von §13.5 unabhängige Messmethode. Umgekehrt prüft man mit Newton-Ringen, ob eine Glasfläche perfekt plan/sphärisch ist (jede Unebenheit verzieht die Ringe).

13.5b Brechung und Snell'sches Gesetz

Quelle: ➕ Themenpool · knüpft an §13.1 (Newton/Huygens) an

Brechung = Richtungsänderung des Lichts beim Übergang in ein anderes Medium. Sie ist der Grund, warum ein Strohhalm im Wasser „geknickt" aussieht und warum eine Linse Licht bündeln kann.

✎ Warum knickt der Strahl überhaupt? (Wellenbild, anschaulich) Im optisch dichteren Medium ist das Licht langsamer ($c=c_0/n$, $n\dots$ Brechzahl $\ge 1$). Trifft eine schräge Wellenfront auf die Grenze, betritt ihr eines Ende das langsame Medium früher als das andere und wird abgebremst — die Front „schwenkt" wie ein Auto, dessen rechte Räder zuerst in den Sand geraten. Die Frequenz $f$ bleibt dabei gleich (die Grenzfläche „schwingt" mit derselben Rate); wegen $c=\lambda f$ wird also im langsamen Medium die Wellenlänge kleiner.

Quantitativ beschreibt das Snell'sche Brechungsgesetz die beiden Winkel zum Lot:

$$\boxed{{\displaystyle n_1\sin {\alpha }_1=n_2\sin {\alpha }_2}}\text{bzw.}\frac{\sin {\alpha }_1}{\sin {\alpha }_2}=\frac{n_2}{n_1}=\frac{c_1}{c_2}$$

Symbol	Bedeutung
${\alpha }_1,{\alpha }_2$	Einfalls- bzw. Brechungswinkel (zum Lot, der Senkrechten auf die Fläche)
$n_1,n_2$	Brechzahlen der beiden Medien ($n=c_0/c$)
$c_1,c_2$	Lichtgeschwindigkeiten in den Medien

✎ Wie liest man das? — die Regel „dichter ⇒ zum Lot hin".

1. Geht Licht von dünn → dicht (z. B. Luft → Glas, $n_2>n_1$): Aus $n_1\sin {\alpha }_1=n_2\sin {\alpha }_2$ folgt $\sin {\alpha }_2={\displaystyle \frac{n_1}{n_2}}\sin {\alpha }_1<\sin {\alpha }_1$ → ${\alpha }_2<{\alpha }_1$, der Strahl knickt zum Lot hin.
2. Umgekehrt (dicht → dünn) knickt er vom Lot weg.
3. Genau dieser Punkt entschied den Streit aus §13.1: Die Welle erklärt das „zum Lot hin" durch langsameres Licht im Glas ($c_2<c_1$) — und Foucault bestätigte genau das. Newtons Teilchenbild hätte dafür schnelleres Licht gebraucht (falsch).

✎ Totalreflexion (Spezialfall dicht → dünn): Erhöht man ${\alpha }_1$, wächst ${\alpha }_2$ schneller und erreicht bei einem Grenzwinkel $90°$ (der gebrochene Strahl läuft entlang der Fläche). Darüber hinaus gibt es keinen gebrochenen Strahl mehr — das Licht wird vollständig reflektiert. Das ist das Prinzip der Lichtwellenleiter (Glasfaser): Licht bleibt durch Totalreflexion „im Kabel gefangen".